Abstract

We derive the precise locations of the critical points in several random spin systems, the ±J Ising model, the Gaussian model, and the Potts spin glass on the square lattice, and the ±J Ising model on the triangular lattice.
A relationship between different partition functions established by consideration with a symmetry, the duality, plays an important role in proving these results.
This technique has been originally applied to non-random spin systems and given the exact solutions.
Recently a variant technique has been proposed and predicted the locations of the critical points in classical spin systems with random couplings.
However some results by this technique do not show good consistencies with existing results in several cases.

As an improved way, we use a systematic summation of a part of spins in the partition functions, the renormalization group analysis, to increase the precision of the predictions beyond a conventional technique.
This technique shows greatly successful improvement especially for the random spin systems on special lattices with a convenient structure for such summation, the hierarchical lattices.
The obtained results are in good agreement with the existing results by other approaches.
We also attempt to predict precise locations of the critical points in several random spin systems defined on regular lattices such as the square, triangular, and hexagonal lattices.
The technique established in this thesis is, possibly, a unique tool to analytically derive the location of the critical points in the finite-dimensional random spin systems.

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概要

本論文は，格子上のスピン系で重要な役割を果たしてきた双対変換についての論文である．
具体的には，三角格子上の双対変換をうまく定式化することにより得られた以下の2つの結果について報告する．
第一に，３体相互作用をもつ三角格子上のPotts模型の転移点における，厳密なエネルギーの値を導出することに成功した．
もうひとつは，±J Ising模型の多重臨界点の位置について厳密と思われる結果を導出することに成功した．

格子上のスピン系では，基本的な格子として，正方格子，三角格子，六角格子などが扱われる．しかし双対変換を利用する際，この格子の形に左右されて数々の問題に直面される．
正方格子のある模型に対して双対変換を施すと，正方格子上で定義できる別のスピン模型が登場する．これにより元の模型とは異なる表示を引き出すことにより，解析を進めるのが双対変換である．
しかし三角格子に対して双対変換を施すと格子の形が変わり六角格子に変わる．そのため正方格子に対する双対変換とは異なり，単純に三角格子について考えるだけでは済まされない．
この場合，六角格子より三角格子への別の変換，星・三角変換という手法を導入しなければならない．これにより三角格子についても正方格子同様に議論を進めることはできるが，
① 六角格子について考慮しなければならない．
② 一般に星・三角変換は複雑な式を与える．
等の問題に直面する．
三角格子を解析するのであれば，①は避けてしかるべきであり，②のような問題はより一般的な問題，複雑な系を扱う場合については好ましくない．

そこで我々はBarkhardtによる手法に基づき，三角格子から三角格子への直接的な変換を導入することを試みて，その定式化を行った．これにより三角格子の模型も，正方格子模型と同様に，一度の変換のみで扱えるようになる．
よって①の問題は解消され，②の問題についてもこの直接的な変換の簡明な定式化が成功したため巧く解消される．
この直接的な変換により，冒頭に述べた二つの結果を導出することに成功した．これらの結果は数値計算の結果とも整合している．

本論文は以下の内容から構成されている．
双対変換，星・三角変換についてその概観を眺めてから，三角格子から三角格子への直接的な変換の定式化をする．そして3体相互作用を持つPotts模型のエネルギーの解析手法の紹介とその結果を提示する．また三角格子上の±J Ising模型の多重臨界点の解析について，正方格子±J Ising模型の多重臨界点の解析手法を踏まえつつ，その内容と結果を提示する．

概要